《算法导论学习笔记》-GCD定理的证明

GCD定理

GCD定理是欧几里得算法的灵魂。

欧几里得算法就是我们以前说的“辗转相除法”。
GCD定理:
$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

证明

我们的证明就是要证明上面两者相互能整除。
设$gcd(a,b)=d$所以$d|a且d|b$。
由带余除法可以得出:
$a\%b=a-qb$其中q为a/b向下取整。
所以$a\%b$是a和b的一个线性组合。
所以$d|a\%b$
又因为$d|b$
所以$d|gcd(b,a\%b)$
即$gcd(a,b)|gcd(b,a\%b)$
证明另一个结论和上述过程一模一样。

文章目录
  1. 1. GCD定理
  2. 2. 证明